대리코드 간 대칭성

5권 순환을 응용해서 반시계 방향은 +, 시계 방향은 - 로 모델링 할 수 있는 다음과 같은 Circular Form을 생각해 볼 수 있다. 이 때 화음의 구성음들을 표시하고 기준점과의 거리 증가만큼 경향성이 커진다고 생각해 보면 Tonic 화음들의 경향성을 수치로 따져 볼 수 있을 것이다.

 

가령 아래의 그림은 IM7과 IIIm3 화음의 구성을 Circular Form에 표시(빨:1,주:3,노:5,회색:7)한 것인데 이 때 각 구성음이 1도를 기준으로 떨어져 있는 호 길이를 합산하여 +/- 의 경향을 수치로 표현할 수 있고 이 값들의 상대적인 비율로 화음간 +/- 경향의 차이를 수치화 할 수 있다.

IIIm7 구성음들의 1도와의 거리 합은 12 (1+2+4+5) 이고 IM7 구성음들의 1도와의 거리 합은 10 (0+1+4+5) 이다. 즉 IIIm7 화음은 IM7보다 20% (12/10=1.2) 더 밝다고 말할 수 있다.

이번에는 두 화음들의 유사성을 수치화 해 보자. 밝은 것을 계산한 값에서 12를 더해주면 유사성을 평가하는 지표가 될 수 있다. 위의 경향성을 계산할 때에는 1도를 0로 놓았지만 유사성을 따질 때에는 기준이 되는 1도의 값이 Circular 순환의 단위가 되는 12(반음12개) 대입하여 1도의 크기를 제일 큰 값으로 놓는 것이 합리적이다. 그리고 1도가 포함되지 않는 화음에 대해서는 12를 더해서 숫자 크기의 비례를 맞춰 준다. (이런 비례 방식을 수식적으로 명쾌하게 설명할 수 있으면 제일 좋은데 제가 그런 능력은 없네요. 하지만 제가 가진 수학적 느낌으로는 이렇게 해야 12를 기준으로 하는 Normalize가 됩니다)

이 때 IIIm7은 12+12 = 24가 되고  IM7은 10+12=22 이 된다. 이런 식으로 따지면 IIIm7은 IM7과 약 91% 유사하다고 할 수 있다.(1 - |24-22|/22 = 20/22 = 10/11= 0.9090909, 얼마나 차이가 벌어진 건지 계산하고 이를 1에서 빼서 유사한 정도를 계산한 것임)

 

6도 화음과 1도 화음을 같은 방식으로 비교해 보면

 

VIm7 구성음들의 1도와의 거리 합은 8 (1+3+4) 이고 IM7 구성음들의 1도와의 거리 합은 10 (0+1+4+5) 이니 VIm7 화음은 IM7보다 20% (8/10=0.8) 어둡다고 말할 수 있다.

유사성을 보자면 VIm7은 8+12=20 이고 IM7은 10+12=22이 된다. 여기에서 VIm7은 IM7과 91% (1 - |20-22|/22 = 20/22 = 10/11) 유사하다고 할 수 있다.

 

결과적으로 놓고 보면 Tonic 1,3,6 에서 3과 6은 1과  유사한 정도로는 동일한 91% 이며 경향성은 동일 크기(20%)에 방향이 정반대인 대칭 구조를 가진다. 1도는 기준점으로 방향성이 없으므로 양 방향으로 대리코드가 존재한다고 볼 수 있다.

수치 계산 없이 직관적으로 그림만 봐도 IIIm7은 IM7의 1도가 한음 올라 장2도로 대체되어 +경향이 강화 된 것이고 VIm7은 IM7의 장7도가 한음 내려 장6도로 대체되어 -경향이 강화 된 것이다. 두 화음 모두 IM7과 비교하면 한음이 변경되었다. 다만 올리고 내리는 방향이 다를 뿐이므로 유사성 크기 동일하되 방향이 대칭적이란 것을 짐작할 수 있다.

 

Sub-Dominant (4,2)와 Dominant (5,7)에 대해서 따져보면, Sub-Dominant 대리 코드인 IVM7과 IIm7은 89% 동일하고 IIm7이 33% 더 어둡고, Dominant 대리 코드인 VII5b7과 V7도 89% 동일하고 VII5b이 28.57% 더 밝다.

4도는 시계 방향(-)이고 5도는 반시계 방향(+)인데 IVM7의 대리코드는 시계 방향으로 더 나간 것이 되고 V7의 대리코드는 반시계 방향으로 더 나간 것이 된다. 즉 Sub-Dominant와 Dominant의 대리코드는 각자의 방향성을 더 강화시킨다.